Calcule as integrais.
integral-2 sen^4 t cos ^5 t d t

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
integral -2,sin^4 t,cos^5 t,dt
O conteúdo é integração de potências de seno e cosseno. Como a potência de cos t é ímpar, vamos usar substituição u=sin t, pois daí du=cos t,dt.

Passo 2

Separamos um fator cos t,dt para formar du. Escrevemos
cos^5 t = cos^4 tcdotcos t,
de modo que
integral -2,sin^4 t,cos^5 t,dt = -2integral sin^4 t,cos^4 t;(cos t,dt)
Com u=sin t e du=cos t,dt, isso vira
-2integral u^4,cos^4 t;du

Passo 3

Usamos cos^2 t = 1 - sin^2 t, então
cos^4 t = (1 - u^2)^2
Logo a integral em u é
-2integral u^4,(1 - u^2)^2,du

Passo 4

Expandimos o quadrado e integramos termo a termo:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4,
então
-2integral u^4,(1 - 2u^2 + u^4),du = -2integrall(u^4 - 2u^6 + u^8r),du
Integrando,
-2(u^55 - 2,u^77 + u^99) + C

Passo 5

Voltando a u=sin t, obtemos
-2cdotsin^5 t5 ;+;4cdotsin^7 t7;-;2cdotsin^9 t9+C

Resposta

integral -2,sin^4 t,cos^5 t,dt = -25,sin^5 t + 47,sin^7 t - 29,sin^9 t + C

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