Dada a função
, calcule
etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas sucessivas de
e mostrar que a derivada de ordem
satisfaz
Para isso vamos usar a regra de potência, que diz que
Passo 2
Vamos reescrever
como potência:
Aplicando a regra de potência,
Passo 3
Agora a segunda derivada:
Passo 4
E a terceira derivada:
Passo 5
Observando os resultados
vemos o padrão
Passo 6
Prova por indução:
Base (
):
logo vale para
.
Passo indutivo: suponha que
Então
que é exatamente
.
Assim a fórmula está demonstrada para todo
.