Dada a função f(x)=1 / x, calcule f^prime(x) f^prime prime(x) f^prime prime prime(x) etc. Demonstre que a derivada n-ésima é dada por
f^(n)(x)=(-1)^n n!x^n+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas sucessivas de f(x)=1/x e mostrar que a derivada de ordem n satisfaz
f^(n)(x)=(-1)^n,n!x^n+1
Para isso vamos usar a regra de potência, que diz que
ddxl[x^kr]=k,x^k-1

Passo 2

Vamos reescrever f como potência:
f(x)=x^-1
Aplicando a regra de potência,
f'(x)=ddxl[x^-1r] =-1,x^-2 =-x^-2 =(-1)^1,1!x^2

Passo 3

Agora a segunda derivada:
f''(x)=ddxl[-x^-2r] =-1cdot(-2),x^-3 =2,x^-3 =(-1)^2,2!x^3

Passo 4

E a terceira derivada:
f'''(x)=ddxl[2,x^-3r] =2cdot(-3),x^-4 =-6,x^-4 =(-1)^3,3!x^4

Passo 5

Observando os resultados
f'(x)=(-1)^11!x^2, f''(x)=(-1)^22!x^3, f'''(x)=(-1)^33!x^4,
vemos o padrão
f^(n)(x)=(-1)^n,n!x^n+1

Passo 6

Prova por indução:
Base ( n=0):
f^(0)(x)=f(x)=1x e (-1)^00!x^1=1x,
logo vale para n=0.
Passo indutivo: suponha que
f^(n)(x)=(-1)^n,n!x^n+1
Então
f^(n+1)(x) =ddxl[(-1)^nn!,x^-n-1r] =(-1)^nn!(-n-1),x^-n-2 =(-1)^n+1(n+1)!,x^-n-2,
que é exatamente
(-1)^n+1(n+1)!x^(n+1)+1.
Assim a fórmula está demonstrada para todo n.

Resposta

f^(n)(x)=(-1)^n,n!x^n+1

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