Demonstre que
(f g)^prime prime=f^prime prime+2 f^prime g^prime+f g^prime prime

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada do produto de duas funções f e g. Vamos usar a regra do produto duas vezes para chegar à fórmula desejada.

Passo 2

Aplicando a regra do produto para a primeira derivada, temos
(fg)' = f',g + f,g'

Passo 3

Para obter a segunda derivada, diferenciamos novamente cada parcela da soma e aplicamos de novo a regra do produto:
(fg)'' = (f',g)' + (f,g')',
(f',g)' = f'',g + f',g',
(f,g')' = f',g' + f,g''

Passo 4

Somando os dois resultados, juntamos termos semelhantes:
(fg)'' = l(f'',g + f',g'r) + l(f',g' + f,g''r) = f'',g + 2,f',g' + f,g''

Resposta

(fg)'' = f'',g + 2,f',g' + f,g''

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