Encontre a transformada de Laplace da função dada, sendo a e b constantes ambas diferentes de zero. Lembre-se que cosh (x)=e^x+e^-x2 e senh(x)=e^x-e^-x2. f(t)=t^n e^a t, n inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
f(t)=t^ne^a t,
onde n é inteiro positivo e aneq0. O conteúdo principal aqui é a definição da transformada de Laplace e o uso do teorema de deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Laplace, para uma função g(t)>=0 em t>=0,
Lg(t)(s)=integral0^inftyg(t)e^-s t,dt
Nosso caso particular será primeiro calcular Lt^n e depois aplicar o deslocamento em s.

Passo 3

Sabemos que
Lt^n(s) =integral0^inftyt^ne^-s t,dt =Gamma(n+1)s^n+1
e, como n é inteiro positivo, Gamma(n+1)=n!. Logo,
Lt^n(s)=n!s^n+1, Re(s)>0

Passo 4

Aplicamos o teorema de deslocamento: se h(t)=e^a tg(t), então
Lh(t)(s) =Le^a tg(t)(s) =G(s-a),
onde G(s)=Lg(t)(s). Aqui g(t)=t^n e G(s)=n!/s^n+1, logo
Lt^ne^a t(s) =n!(s-a)^,n+1, Re(s)> Re(a)

Resposta

Lt^ne^a t(s) =n!(s-a)^,n+1

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