Calcule a integral dupla da função f(x, y)=x^2+y^2raiz(x-2)^2+(y-3)^2 sobre a região R, onde R é a área entre os círculos x^2+y^2 <= 16 e x^2+y^2+4 <= 4 x+6 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O problema pede para calcular a integral dupla da função f(x, y) = x^2 + y^2raiz(x - 2)^2 + (y - 3)^2 sobre a região R . Aqui, R é a área entre dois círculos: um definido por x^2 + y^2 <= 16 e outro por x^2 + y^2 + 4 <= 4x + 6y .
Para resolver isso, vamos precisar entender a forma dos dois círculos e decidir qual sistema de coordenadas usar para facilitar a integração. Provavelmente, coordenadas polares serão úteis aqui, mas vamos ver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região R . Temos dois círculos:
  1. Círculo 1: x^2 + y^2 <= 16
    • Este é um círculo com centro na origem (0, 0) e raio r = 4 .
  2. Círculo 2: x^2 + y^2 + 4 <= 4x + 6y
    • Vamos rearranjar essa equação para a forma padrão de um círculo. Subtraindo 4x e 6y de ambos os lados:
x^2 - 4x + y^2 - 6y + 4 <= 0
  • Agora, completamos o quadrado para x e y:
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + 4 - 4 - 9 <= 0
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 <= 9
  • Então, o Círculo 2 tem centro em (2, 3) e raio r = 3 .
Portanto, R é a área que está dentro do Círculo 1 e fora do Círculo 2.

Passo 3

Agora que sabemos as equações dos círculos, vamos visualizar a região R . Como o Círculo 2 está deslocado para (2, 3) e tem raio 3, enquanto o Círculo 1 está na origem com raio 4, eles se sobrepõem parcialmente.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde:
x = r cos theta y = r sin theta
Nesse sistema, a integral dupla se transforma em:
integral duplaR f(x, y) , dA = integralthetamin^thetamax integralrmin(theta)^rmax(theta) f(r, theta) , r , dr , dtheta
Aqui, precisamos determinar os limites de r e theta que descrevem a região R .

Passo 4

Vamos reescrever a função f(x, y) em coordenadas polares:
f(x, y) = x^2 + y^2raiz(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = r^2raiz(r cos theta - 2)^2 + (r sin theta - 3)^2
Isso simplifica a função em termos de r e theta , o que facilita a integração após encontrarmos os limites corretos.

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r e theta . A região R está entre os dois círculos, então para cada ângulo theta , r varia de onde o raio intersecta o Círculo 2 até o Círculo 1.
Vamos encontrar rmin(theta) e rmax(theta) :
  1. Interseção com o Círculo 2:
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 Rightarrow (r cos theta - 2)^2 + (r sin theta - 3)^2 = 9
Resolvendo para r , encontramos rmin(theta) .
  1. Interseção com o Círculo 1:
r = 4 Rightarrow rmax(theta) = 4
Portanto, para cada theta , r varia de rmin(theta) até 4.

Passo 6

Vamos resolver a equação para rmin(theta) :
(r cos theta - 2)^2 + (r sin theta - 3)^2 = 9
Expandindo:
r^2 cos^2 theta - 4 r cos theta + 4 + r^2 sin^2 theta - 6 r sin theta + 9 = 9 Rightarrow r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - 4 r cos theta - 6 r sin theta + 13 = 9 Rightarrow r^2 - 4 r cos theta - 6 r sin theta + 4 = 0
Usando a identidade cos^2 theta + sin^2 theta = 1 .

Passo 7

A equação quadrática em r é:
r^2 - (4 cos theta + 6 sin theta) r + 4 = 0
Resolvemos para r usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 cos theta + 6 sin theta pm raiz(4 cos theta + 6 sin theta)^2 - 162
Escolhemos a solução que faz sentido para r >= 0 .

Passo 8

Após simplificar, obtemos:
rmin(theta) = 2 cos theta + 3 sin theta - raiz(2 cos theta + 3 sin theta)^2 - 4
Então, nossos limites de integração são de r = rmin(theta) até r = 4 , e theta varia de 0 a 2pi .

Passo 9

Finalmente, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^2pi integralrmin(theta)^4 r^2raiz(r cos theta - 2)^2 + (r sin theta - 3)^2 , r , dr , dtheta
Simplificando:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^2pi integralrmin(theta)^4 r^3raiz(r cos theta - 2)^2 + (r sin theta - 3)^2 , dr , dtheta

Resposta

A integral dupla da função f(x, y) = x^2 + y^2raiz(x - 2)^2 + (y - 3)^2 sobre a região R é dada por:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^2pi integralrmin(theta)^4 r^3raiz(r cos theta - 2)^2 + (r sin theta - 3)^2 , dr , dtheta
Onde rmin(theta) = 2 cos theta + 3 sin theta - raiz(2 cos theta + 3 sin theta)^2 - 4 .

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