Calcule a integral dupla da função
sobre a região
, onde
é a área entre os círculos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O problema pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
. Aqui,
é a área entre dois círculos: um definido por
e outro por
.
Para resolver isso, vamos precisar entender a forma dos dois círculos e decidir qual sistema de coordenadas usar para facilitar a integração. Provavelmente, coordenadas polares serão úteis aqui, mas vamos ver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Temos dois círculos:
-
Círculo 1:
- Este é um círculo com centro na origem
e raio .
- Este é um círculo com centro na origem
-
Círculo 2:
- Vamos rearranjar essa equação para a forma padrão de um círculo. Subtraindo 4x e 6y de ambos os lados:
- Agora, completamos o quadrado para x e y:
- Então, o Círculo 2 tem centro em
e raio .
Portanto,
é a área que está dentro do Círculo 1 e fora do Círculo 2.
Passo 3
Agora que sabemos as equações dos círculos, vamos visualizar a região
. Como o Círculo 2 está deslocado para
e tem raio 3, enquanto o Círculo 1 está na origem com raio 4, eles se sobrepõem parcialmente.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde:
Nesse sistema, a integral dupla se transforma em:
Aqui, precisamos determinar os limites de
e
que descrevem a região
.
Passo 4
Vamos reescrever a função
em coordenadas polares:
Isso simplifica a função em termos de
e
, o que facilita a integração após encontrarmos os limites corretos.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. A região
está entre os dois círculos, então para cada ângulo
,
varia de onde o raio intersecta o Círculo 2 até o Círculo 1.
Vamos encontrar
e
:
- Interseção com o Círculo 2:
Resolvendo para
, encontramos
.
- Interseção com o Círculo 1:
Portanto, para cada
,
varia de
até 4.
Passo 6
Vamos resolver a equação para
:
Expandindo:
Usando a identidade
.
Passo 7
A equação quadrática em
é:
Resolvemos para
usando a fórmula de Bhaskara:
Escolhemos a solução que faz sentido para
.
Passo 8
Após simplificar, obtemos:
Então, nossos limites de integração são de
até
, e
varia de 0 a
.
Passo 9
Finalmente, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla da função
sobre a região
é dada por:
Onde
.