Calcule as integrais.
integral t^3 sen t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral t^3sin t,dt
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, baseada na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos para a primeira aplicação de partes
u = t^3, dv = sin t,dt
Então
du = 3t^2,dt, v = -cos t

Passo 3

Aplicando integral u,dv = u,v - integral v,du, temos
integral t^3sin t,dt = -t^3cos t - integral l(-cos tr),3t^2,dt = -t^3cos t + 3integral t^2cos t,dt

Passo 4

Agora vamos calcular integral t^2cos t,dt por partes novamente. Escolhemos
u2=t^2, dv2=cos t,dt
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du2=2t,dt, v2=sin t
Isso dá
integral t^2cos t,dt = t^2sin t - integral 2t,sin t,dt = t^2sin t - 2integral t,sin t,dt
Multiplicando por 3,
3integral t^2cos t,dt = 3t^2sin t - 6integral t,sin t,dt

Passo 5

Falta calcular integral t,sin t,dt. Mais uma vez por partes, com
u3=t, dv3=sin t,dt
temos
du3=dt, v3=-cos t,
então
integral t,sin t,dt = -tcos t - integral l(-cos tr),dt = -tcos t + integral cos t,dt = -tcos t + sin t

Passo 6

Substituindo em 3integral t^2cos t,dt e depois em integral t^3sin t,dt, obtemos
3integral t^2cos t,dt = 3t^2sin t - 6l(-tcos t + sin tr) = 3t^2sin t + 6tcos t - 6sin t
e assim
integral t^3sin t,dt = -t^3cos t + l(3t^2sin t + 6tcos t - 6sin tr) + C

Resposta

integral t^3sin t,dt = -t^3cos t + 3t^2sin t + 6tcos t - 6sin t + C

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