Demonstre a fórmula (x^n)^prime=n x^n-1 usando a seguinte identidade:
x^prime n-x^n=(x^prime-x)(x^prime n-1+x^prime n-2 x+x^prime n-3 x^2+ldots+x^n-1)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para n inteiro positivo,
l(x^nr)' = n,x^n-1,
usando a definição de derivada pelo quociente de diferença e a identidade de fatoração
x'^,n-x^n = (x'-x)l(x'^,n-1+x'^,n-2x+dots+x^n-1r)

Passo 2

Definimos f(x)=x^n. Pela definição de derivada,
f'(x) =limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto0(x+h)^n - x^nh

Passo 3

Aplicamos a identidade dada com x'=x+h:
(x+h)^n - x^n =(x+h - x)l((x+h)^n-1 + (x+h)^n-2x + dots + x^n-1r) =hl((x+h)^n-1 + (x+h)^n-2x + dots + x^n-1r)

Passo 4

Substituindo no quociente de diferença, obtemos
(x+h)^n - x^nh =(x+h)^n-1 + (x+h)^n-2x + dots + x^n-1

Passo 5

Agora tomamos o limite hto0. Cada termo (x+h)^kx^,n-1-k tende a x^kx^,n-1-k=x^n-1, e há exatamente n termos na soma. Logo,
f'(x) =limhto0l[(x+h)^n-1 + (x+h)^n-2x + dots + x^n-1r] = n,x^n-1

Resposta

l(x^nr)' = n,x^n-1

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