Considere a função:
Identifique os pontos críticos, os máximos e mínimos locais.
Identifique os pontos críticos, os máximos e mínimos locais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os pontos críticos, os máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender onde a função pode ter esses comportamentos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
, que nos ajuda a identificar os pontos críticos. Para derivar uma função que é uma fração, como essa, usamos a regra do quociente.
A regra do quociente diz que se você tem uma função
, sua derivada é:
Aqui, vamos identificar
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, vamos igualar a derivada a zero:
Para que a fração seja zero, o numerador precisa ser zero:
Mas isso não tem solução real, já que
nunca é zero.
Passo 6
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando:
Portanto, os pontos críticos são em
e
.
Passo 7
Agora, vamos analisar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar o teste da derivada, observando o sinal da derivada antes e depois desses pontos.
Passo 8
Vamos verificar o comportamento da derivada em torno de
:
- À esquerda de 1 (por exemplo,
):
- À direita de 1 (por exemplo,
):
A derivada é negativa dos dois lados de
, ou seja, não há mudança de sinal. Isso indica que
não é um ponto de máximo ou mínimo.
Passo 9
Fazendo o mesmo para
:
- À esquerda de -1 (por exemplo,
):
- À direita de -1 (por exemplo,
):
Novamente, a derivada é negativa dos dois lados de
, sem mudança de sinal. Portanto,
também não é um ponto de máximo ou mínimo.
Resposta
A função
não possui pontos críticos que correspondem a máximos ou mínimos locais.