Considere a função: f(x)=2 xx^2-1
Identifique os pontos críticos, os máximos e mínimos locais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x) = 2xx^2 - 1 e precisa encontrar os pontos críticos, os máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender onde a função pode ter esses comportamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) , que nos ajuda a identificar os pontos críticos. Para derivar uma função que é uma fração, como essa, usamos a regra do quociente.
A regra do quociente diz que se você tem uma função uv , sua derivada é:
f'(x) = u'v - uv'v^2
Aqui, vamos identificar u = 2x e v = x^2 - 1 .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de u e v :
u' = ddx(2x) = 2
v' = ddx(x^2 - 1) = 2x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = u'v - uv'v^2 = 2(x^2 - 1) - 2x cdot 2x(x^2 - 1)^2
Simplificando o numerador:
2(x^2 - 1) - 4x^2 = 2x^2 - 2 - 4x^2 = -2x^2 - 2
Então, a derivada fica:
f'(x) = -2x^2 - 2(x^2 - 1)^2 = -2(x^2 + 1)(x^2 - 1)^2

Passo 5

Agora, os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, vamos igualar a derivada a zero:
-2(x^2 + 1)(x^2 - 1)^2 = 0
Para que a fração seja zero, o numerador precisa ser zero:
-2(x^2 + 1) = 0 implies x^2 + 1 = 0
Mas isso não tem solução real, já que x^2 + 1 nunca é zero.

Passo 6

Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando:
x^2 - 1 = 0 implies x^2 = 1 implies x = pm1
Portanto, os pontos críticos são em x = 1 e x = -1 .

Passo 7

Agora, vamos analisar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar o teste da derivada, observando o sinal da derivada antes e depois desses pontos.

Passo 8

Vamos verificar o comportamento da derivada em torno de x = 1 :
  • À esquerda de 1 (por exemplo, x = 0.9 ):
f'(0.9) = -2((0.9)^2 + 1)((0.9)^2 - 1)^2 < 0
  • À direita de 1 (por exemplo, x = 1.1 ):
f'(1.1) = -2((1.1)^2 + 1)((1.1)^2 - 1)^2 < 0
A derivada é negativa dos dois lados de x = 1 , ou seja, não há mudança de sinal. Isso indica que x = 1 não é um ponto de máximo ou mínimo.

Passo 9

Fazendo o mesmo para x = -1 :
  • À esquerda de -1 (por exemplo, x = -1.1 ):
f'(-1.1) = -2((-1.1)^2 + 1)((-1.1)^2 - 1)^2 < 0
  • À direita de -1 (por exemplo, x = -0.9 ):
f'(-0.9) = -2((-0.9)^2 + 1)((-0.9)^2 - 1)^2 < 0
Novamente, a derivada é negativa dos dois lados de x = -1 , sem mudança de sinal. Portanto, x = -1 também não é um ponto de máximo ou mínimo.

Resposta

A função f(x) = 2xx^2 - 1 não possui pontos críticos que correspondem a máximos ou mínimos locais.

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