Determine a família de primitivas para cada função:
integral x cdot raiz[3]1+3 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma família de primitivas da função
x ,raiz[3]1 + 3x^2 = x,(1 + 3x^2)^tfrac13
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição (u-substitution) para integrar potências de uma expressão linear em x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 3x^2, du = 6x,dx Longrightarrow x,dx = du6
Isso transforma a integral original em função de u.

Passo 3

Substituindo em integral x,(1 + 3x^2)^tfrac13,dx, obtemos
integral (1 + 3x^2)^tfrac13,x,dx = integral u^tfrac13,du6 = 16,integral u^tfrac13,du
Agora integramos a potência de u:
16,integral u^tfrac13,du = 16,cdotu^tfrac43tfrac43 = 16,cdot34,u^tfrac43 = 18,u^tfrac43 + C

Passo 4

Voltando à variável x com u = 1 + 3x^2, a família de primitivas fica
F(x) = 18,(1 + 3x^2)^tfrac43 + C,
onde C é constante de integração.

Resposta

F(x) = 18,l(1 + 3x^2r)^tfrac43 + C

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