Demonstre que
(f g)^prime prime prime=f^prime prime prime+3 f^prime prime g^prime+3 f^prime g^prime prime+f g^prime prime prime

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a terceira derivada do produto de duas funções f e g satisfaz a fórmula de Leibniz para n=3. Vamos usar a regra do produto e derivar sucessivamente até a terceira derivada.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a regra do produto para obter a primeira derivada:
(fg)' = f',g + f,g'

Passo 3

Agora derivamos outra vez, aplicando a regra do produto em cada termo de (fg)':
(fg)'' = (f',g)' + (f,g')' = l(f'',g + f',g'r) + l(f',g' + f,g''r) = f'',g + 2,f',g' + f,g''

Passo 4

Finalmente derivamos pela terceira vez, de novo usando a regra do produto em cada parcela de (fg)'':
(fg)''' = (f'',g)' + l(2,f',g'r)' + (f,g'')'
= l(f''',g + f'',g'r) + 2,l(f'',g' + f',g''r) + l(f',g'' + f,g'''r)
= f''',g + 3,f'',g' + 3,f',g'' + f,g'''

Resposta

(fg)''' = f''',g + 3,f'',g' + 3,f',g'' + f,g'''

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