Calcule as integrais.
x^3 raiz9-x^2 d x ; x=3 sen theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^3raiz9 - x^2,dx
Usaremos o método de substituição trigonométrica com
x = 3sentheta, dx = 3costheta,dtheta, raiz9 - x^2 = 3costheta

Passo 2

Substituindo na integral, temos
x^3 = 27sen^3theta, raiz9 - x^2 = 3costheta, dx = 3costheta,dtheta,
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integral x^3raiz9 - x^2,dx = integral l(27sen^3thetar)l(3costhetar)l(3costheta,dthetar) = integral 243,sen^3theta,cos^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade cos^2theta = 1 - sen^2theta para reduzir a potência:
243,sen^3theta,cos^2theta = 243l(sen^3theta - sen^5thetar),
então
integral x^3raiz9 - x^2,dx = 243integrall(sen^3theta - sen^5thetar),dtheta

Passo 4

Calculamos separadamente
integral sen^3theta,dtheta = -costheta + cos^3theta3, integral sen^5theta,dtheta = -costheta + 23cos^3theta - cos^5theta5
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243l[l(-costheta + tfraccos^3theta3r) -l(-costheta + tfrac23cos^3theta - tfraccos^5theta5r)r] = -81cos^3theta + 2435cos^5theta + C

Passo 5

Voltando a x, note que
costheta = raiz1 - sen^2theta = raiz1 - x^29 = raiz9 - x^23
Então
cos^3theta = (9 - x^2)^3/227, cos^5theta = (9 - x^2)^5/2243,
e a integral fica
-81cdot(9 - x^2)^3/227 + 2435cdot(9 - x^2)^5/2243 = -3,(9 - x^2)^3/2 + 15,(9 - x^2)^5/2 + C

Resposta

boxed integral x^3raiz9 - x^2,dx = (9 - x^2)^5/25 ;-; 3,(9 - x^2)^3/2 + C

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