Calcule as integrais iteradas.
integral0^ln 2 integral0^1 x y e^y^2 x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^ln 2integral0^1x,y,e^y^2x,dy,dx
O conteúdo usado será integração por substituição na integral interna, seguida de integração direta na externa.

Passo 2

Calcule a integral interna
integral0^1x,y,e^y^2x,dy
Como x é constante em relação a y, façamos a substituição
u = y^2x Longrightarrow du = 2y,x,dy Longrightarrow y,dy = du2x
Quando y=0, u=0; quando y=1, u=x. Assim,
integral0^1x,y,e^y^2x,dy = integral0^xxcdot e^ucdotdu2x = 12integral0^xe^u,du = 12l(e^x-1r)

Passo 3

Agora integramos em x:
integral0^ln 212l(e^x-1r),dx = 12[integral0^ln 2e^x,dx ;-;integral0^ln 21,dx]
Calculando cada parte,
integral0^ln 2e^x,dx = e^x|0^ln2 = 2-1 = 1, integral0^ln21,dx = ln2 - 0 = ln2
Logo,
integral0^ln 212l(e^x-1r),dx = 12l(1 - ln2r)

Resposta

1 - ln22

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