Calcule as integrais.
integral x^2+2 x-1x^3-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2+2x-1x^3-x,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais: primeiro fatoramos o denominador e depois escrevemos o integrando como soma de frações mais simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^3-x = x,(x^2-1) = x,(x-1),(x+1)
Logo, propomos a decomposição
x^2+2x-1x,(x-1),(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1
Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+1), obtemos
x^2+2x-1 = A,(x-1)(x+1) + B,x,(x+1) + C,x,(x-1)

Passo 3

Expandindo o lado direito:
Comparando com
Da terceira equação vem , logo . Com e segue e .

Passo 4

Substituindo A=1, B=1, C=-1 na decomposição, a integral vira
integral 1x,dx + integral 1x-1,dx - integral 1x+1,dx
Cada termo é um logaritmo:
integral 1x,dx = lnl|xr|, integral 1x-1,dx = lnl|x-1r|, integral 1x+1,dx = lnl|x+1r|

Passo 5

Somando e colocando a constante de integração C, obtemos
lnl|xr| + lnl|x-1r| - lnl|x+1r| + C = ln!l|x,(x-1)x+1r| + C

Resposta

ln!l|x,(x-1)x+1r| + C

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