Calcule as integrais
integral ln xraizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral ln xraizx , dx
O conteúdo necessário é integração por partes, que usa a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escrevemos a integral como
integral x^-1/2ln x , dx
e identificamos as duas partes para a integração por partes:
u = ln x e dv = x^-1/2 , dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
Derivando u temos
du = 1x,dx,
e integrando dv temos
v = integral x^-1/2,dx = 2x^1/2

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^-1/2ln x , dx = u,v - integral v,du = 2x^1/2ln x - integral 2x^1/2cdot1x,dx

Passo 5

No integrando restante simplificamos:
2x^1/2cdot1x = 2x^-1/2,
logo
integral 2x^-1/2,dx = 2integral x^-1/2,dx = 2cdot 2x^1/2 = 4x^1/2

Passo 6

Substituindo de volta e somando a constante de integração, obtemos
2x^1/2ln x - 4x^1/2 + C = 2raizx,(ln x - 2) + C

Resposta

integral ln xraizx,dx = 2raizx,(ln x - 2) + C

Exercícios relacionados