Considere a região R , delimitada pelas curvas x=(y-4)^2 e x=4. Seja S o sólido obtido pela rotação da região R em torno de y=2.
Esboce a região R e calcule a sua área.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R no plano xy limitada pelas curvas
x = (y - 4)^2
e
x = 4
O conteúdo é “área entre curvas” usando integração em y. Vamos encontrar os limites em y, esboçar R e depois calcular
A = integralymin^ymaxl(xdireita - xesquerdar),dy

Passo 2

Encontramos as interseções resolvendo
(y-4)^2 = 4
Rightarrow y-4 = pm 2, logo y=6 ou y=2. Portanto R está entre y=2 e y=6.
Esboço de R:
  • A parábola x=(y-4)^2 tem vértice em (0,4) e abre para a direita.
  • A reta vertical x=4 corta a parábola em (4,2) e (4,6).
  • R é a “fatia” entre essas duas curvas, para 2<= y<=6.

Passo 3

Em cada altura yin[2,6], a abscissa à direita é x=4 e à esquerda x=(y-4)^2. Logo
A = integral2^6 l[,4 - (y-4)^2r],dy

Passo 4

Vamos calcular
A = integral2^64,dy ;-;integral2^6(y-4)^2,dy
Primeiro termo:
integral2^64,dy = 4l[yr]2^6 = 4(6-2)=16
Segundo termo: faça a troca u=y-4, então quando y=2, u=-2; e y=6, u=2.
integral2^6(y-4)^2,dy = integralu=-2^2u^2,du = l[tfracu^33r]-2^2 = 2^33 - (-2)^33 = 83 - l(-83r) = 163
Logo
A = 16 - 163 = 483 - 163 = 323

Resposta

A área da região R é 323.

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