Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
X^prime=(ll4 & -3 8 & -6) X, X(0)=binom68

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear de EDOs
X' = A,X, A = 4 & -3 8 & -6,
com condição inicial X(0)=binom68.
Conteúdo: sistemas lineares com matriz constante. Vamos usar autovalores e autovetores de A para escrever a solução geral como combinação de e^lambda tv.

Passo 2

Calcular os autovalores de A. O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det4-lambda & -3 8 & -6-lambda = (4-lambda)(-6-lambda) - (-3)cdot8
Expandindo,
(4-lambda)(-6-lambda) +24 = -24 -4lambda +6lambda +lambda^2 +24 = lambda^2 +2lambda
Logo os autovalores satisfazem
lambda^2 +2lambda =lambda(lambda+2)=0,
ou seja,
lambda1 = 0, lambda2 = -2

Passo 3

Para resolvemos :
Um autovetor conveniente é .
Para resolvemos :
Um autovetor conveniente é .

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos e^lambda tv:
X(t) = C1,v1,e^0cdot t + C2,v2,e^-2t = C134 + C212e^-2t

Passo 5

Impor a condição inicial
Isso equivale ao sistema
Da primeira equação .

Resposta

X(t) = 234 = 68,
ou seja, a solução é constante X(t)equiv(6,8)^T.

Exercícios relacionados