Estude as funções quanto a máximos e mínimos absolutos:
f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+3, x in[-2,3];

Passo 1

O enunciado pede para determinar os máximos e mínimos absolutos da função
f(x)=2x^3-9x^2+12x+3
no intervalo fechado [-2,3]. Como a função é polinomial (contínua e diferenciável em toda parte), vamos usar o teste da derivada para encontrar pontos críticos e então comparar os valores de f nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada e fatoramos:
f'(x)=ddxl(2x^3-9x^2+12x+3r) =6x^2-18x+12 =6,(x^2-3x+2) =6,(x-1),(x-2)
Os zeros de f' ocorrem em x=1 e x=2, que são os pontos críticos internos do domínio.

Passo 3

Avaliamo f nos pontos críticos e nos extremos do intervalo ,x=-2 e x=3:
f(-2)=2(-2)^3-9(-2)^2+12(-2)+3=-16-36-24+3=-73,
f(1)=2-9+12+3=8,
f(2)=16-36+24+3=7,
f(3)=54-81+36+3=12

Passo 4

Comparamos os valores:
f(-2)=-73, f(1)=8, f(2)=7, f(3)=12
O menor valor é -73 em x=-2 e o maior é 12 em x=3.

Resposta

A função atinge o mínimo absoluto f(-2)=-73 em x=-2 e o máximo absoluto f(3)=12 em x=3.

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