Calcule utilizando coordenadas esféricas:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 z^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede
integralx=-2^2integraly=-raiz4-x^2^raiz4-x^2integralz=0^raiz4-x^2-y^2z^2,raizx^2+y^2+z^2;dz,dy,dx
Percebemos que a região é a meia‐esfera de raio 2 acima do plano z=0 e que a matéria envolvida é mudança para coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x = rsinvarphicostheta, y = rsinvarphisintheta, z = rcosvarphi,
com elemento de volume
dV = r^2sinvarphi;dr,dvarphi,dtheta

Passo 3

Na integral z^2raizx^2+y^2+z^2 vira
(rcosvarphi)^2cdot r = r^3cos^2varphi,
e junto com o jacobiano obtemos o integrando
r^3cos^2varphi;times r^2sinvarphi = r^5cos^2varphisinvarphi

Passo 4

Os limites ficam
0 <= r <= 2, 0 <= varphi <= tfracpi2, 0 <= theta <= 2pi
Logo a integral separa em
integral0^2pidtheta; integral0^pi/2cos^2varphisinvarphi,dvarphi; integral0^2r^5,dr

Passo 5

Calculamos cada uma:
integral0^2pidtheta = 2pi,
integral0^2r^5,dr = [r^66]0^2 = 646 = 323,
para a integral em varphi fazemos u=cosvarphi, du=-sinvarphi,dvarphi:
integral0^pi/2cos^2varphisinvarphi,dvarphi = integralu=1^0u^2(-du) = integral0^1u^2,du = 13

Passo 6

Multiplicando os resultados:
2pi times 323times 13 = 64pi9

Resposta

64pi9

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