Calcule as integrais
integral 2 x-1x^2-x-6 d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral de 2x - 1x^2 - x - 6 em relação a x. Essa é uma questão de cálculo integral, mais especificamente envolvendo frações parciais. A gente vai precisar quebrar essa fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - x - 6. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e 2, então:
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

Passo 3

Agora, vamos expressar 2x - 1(x - 3)(x + 2) como uma soma de frações parciais:
2x - 1(x - 3)(x + 2) = Ax - 3 + Bx + 2
Nosso objetivo é encontrar os valores de A e B.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por (x - 3)(x + 2) para eliminar os denominadores:
2x - 1 = A(x + 2) + B(x - 3)

Passo 5

Agora, vamos expandir o lado direito:
2x - 1 = A x + 2A + B x - 3B
Agrupando os termos semelhantes:
2x - 1 = (A + B)x + (2A - 3B)

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
A + B = 2 2A - 3B = -1

Passo 7

Vamos resolver o sistema:
Primeira equação: A = 2 - B
Substituindo na segunda equação:
2(2 - B) - 3B = -1 4 - 2B - 3B = -1 4 - 5B = -1 -5B = -5 B = 1
Então, A = 2 - 1 = 1.

Passo 8

Agora que temos A = 1 e B = 1, podemos escrever a fração original como:
2x - 1(x - 3)(x + 2) = 1x - 3 + 1x + 2

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x - 3 , dx + integral 1x + 2 , dx

Passo 10

A integral de 1x - a é ln|x - a|, então:
ln|x - 3| + ln|x + 2| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral 2x - 1x^2 - x - 6 , dx = ln|x - 3| + ln|x + 2| + C

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