Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
11.4+14.7+17.10+cdots+1(3 n-2)(3 n+1)=n3 n+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução, que para todo inteiro n>=1 vale
11cdot4+14cdot7+17cdot10+cdots+1(3n-2)(3n+1)=n3n+1
O conteúdo aqui é o princípio da indução finita: verificamos o caso base n=1 e depois mostramos que, se vale para n, vale também para n+1.

Passo 2

(Caso base) Para n=1 a soma do lado esquerdo tem só um termo:
11cdot4=14,
e o lado direito dá
n3n+1|n=1=13cdot1+1=14
Portanto, a fórmula é verdadeira para n=1.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que para algum n>=1 já tenhamos
11cdot4+14cdot7+cdots+1(3n-2)(3n+1)=n3n+1
Chamamos isso de hipótese de indução.

Passo 4

Queremos então mostrar que a fórmula vale para n+1. Considere a soma até n+1:
Sn+1 =l(11cdot4+cdots+1(3n-2)(3n+1)r) +1l(3(n+1)-2r)l(3(n+1)+1r)
Pela hipótese de indução, a parte entre parênteses é n3n+1. Logo
Sn+1 =n3n+1 +1(3n+1)(3n+4)

Passo 5

Agora simplificamos essa soma:
Sn+1 =n3n+1+1(3n+1)(3n+4) =n(3n+4)(3n+1)(3n+4) +1(3n+1)(3n+4)
Juntando as parcelas no mesmo denominador, vem
Sn+1 =n(3n+4)+1(3n+1)(3n+4) =3n^2+4n+1(3n+1)(3n+4)
Observe que o numerador é justamente
3n^2+4n+1=(n+1)(3n+1),
portanto
Sn+1 =(n+1)(3n+1)(3n+1)(3n+4) =n+13(n+1)+1,
que é exatamente a fórmula desejada para n+1.

Resposta

Pela indução finita, a igualdade
11cdot4+14cdot7+cdots+1(3n-2)(3n+1)=n3n+1
vale para todo inteiro n>=1.

Exercícios relacionados