Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução, que para todo inteiro
vale
O conteúdo aqui é o princípio da indução finita: verificamos o caso base
e depois mostramos que, se vale para
, vale também para
.
Passo 2
(Caso base) Para
a soma do lado esquerdo tem só um termo:
e o lado direito dá
Portanto, a fórmula é verdadeira para
n=1 .
Passo 3
(Passo indutivo) Suponha que para algum
n>=1 já tenhamos
Chamamos isso de hipótese de indução.
Passo 4
Queremos então mostrar que a fórmula vale para
n+1 . Considere a soma até
n+1 :
Pela hipótese de indução, a parte entre parênteses é
n3n+1 . Logo
Passo 5
Agora simplificamos essa soma:
Juntando as parcelas no mesmo denominador, vem
Observe que o numerador é justamente
portanto
que é exatamente a fórmula desejada para
n+1 .
Resposta
Pela indução finita, a igualdade
vale para todo inteiro
n>=1 .