Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a soma dos quadrados dos números ímpares até
é igual a
usando indução matemática. Isso significa que vamos provar que a fórmula funciona para qualquer número natural
. Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para
. Isso ajuda a confirmar que nossa base está correta.
Calculando o lado esquerdo da equação:
Calculando o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a fórmula vale para algum número
. Ou seja, a soma dos quadrados dos números ímpares até
é:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução e usaremos ela para provar que a fórmula também vale para
.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que se a fórmula é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, queremos provar que:
Vamos simplificar o novo termo:
Então, o lado direito fica:
Passo 5
Voltando ao lado esquerdo, usando a hipótese de indução:
Vamos fatorar
do lado direito:
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 6
Agora, vamos fatorar
:
Então, substituindo de volta:
Isso mostra que o lado esquerdo é igual ao lado direito para
, assumindo que é válido para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a fórmula
é válida para todo número natural
.