Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
1^2+3^2+cdots+(2 n-1)^2=13 n(2 n-1)(2 n+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a soma dos quadrados dos números ímpares até 2n - 1 é igual a 13n(2n - 1)(2n + 1) usando indução matemática. Isso significa que vamos provar que a fórmula funciona para qualquer número natural n. Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para n = 1. Isso ajuda a confirmar que nossa base está correta.
Calculando o lado esquerdo da equação:
1^2 = 1
Calculando o lado direito da equação:
13 times 1 times (2 times 1 - 1) times (2 times 1 + 1) = 13 times 1 times 1 times 3 = 1
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a fórmula vale para algum número k. Ou seja, a soma dos quadrados dos números ímpares até 2k - 1 é:
1^2 + 3^2 + cdots + (2k - 1)^2 = 13k(2k - 1)(2k + 1)
Essa suposição é a nossa hipótese de indução e usaremos ela para provar que a fórmula também vale para k + 1.

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que se a fórmula é verdadeira para k, então ela também é verdadeira para k + 1. Ou seja, queremos provar que:
1^2 + 3^2 + cdots + (2k - 1)^2 + [2(k + 1) - 1]^2 = 13(k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)
Vamos simplificar o novo termo:
2(k + 1) - 1 = 2k + 2 - 1 = 2k + 1
2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1 = 2k + 3
Então, o lado direito fica:
13(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)

Passo 5

Voltando ao lado esquerdo, usando a hipótese de indução:
1^2 + 3^2 + cdots + (2k - 1)^2 + (2k + 1)^2 = 13k(2k - 1)(2k + 1) + (2k + 1)^2
Vamos fatorar (2k + 1) do lado direito:
= (2k + 1)[13k(2k - 1) + (2k + 1)]
Simplificando dentro dos colchetes:
13k(2k - 1) + 33(2k + 1) = 13[k(2k - 1) + 3(2k + 1)]
= 13(2k^2 - k + 6k + 3) = 13(2k^2 + 5k + 3)

Passo 6

Agora, vamos fatorar 2k^2 + 5k + 3:
2k^2 + 5k + 3 = (2k + 3)(k + 1)
Então, substituindo de volta:
(2k + 1)[13(2k + 3)(k + 1)] = 13(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)
Isso mostra que o lado esquerdo é igual ao lado direito para k + 1, assumindo que é válido para k.

Resposta

Portanto, por indução matemática, a fórmula
1^2 + 3^2 + cdots + (2n - 1)^2 = 13n(2n - 1)(2n + 1)
é válida para todo número natural n.

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