Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O assunto é integração de frações racionais por decomposição em frações parciais. Para isso precisamos fatorar o denominador antes de decompor.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador:
Com isso, podemos escrever a fração original como soma de termos mais simples.
Passo 3
Proponho a decomposição
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a identidade
Passo 4
Para encontrar
usamos valores convenientes de
:
- Em
: → . - Em
: → . - Em
: → .
Passo 5
Assim a integral se transforma em
Integramos cada termo:
-
. -
. -
.
Passo 6
Somando tudo e lembrando dos coeficientes, obtemos
Passo 7
Opcionalmente, podemos juntar os logaritmos em um só:
Resposta
-\ln|x| + \tfrac{5}{6}\ln|3x-2| + \tfrac{1}{2}\ln|x+2| + C