Calcule as integrais
integral x^2+43 x^3+4 x^2-4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2+43x^3+4x^2-4x,dx. O assunto é integração de frações racionais por decomposição em frações parciais. Para isso precisamos fatorar o denominador antes de decompor.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador:
3x^3+4x^2-4x = x,(3x^2+4x-4) = x,(3x-2),(x+2)
Com isso, podemos escrever a fração original como soma de termos mais simples.

Passo 3

Proponho a decomposição
x^2+4x,(3x-2),(x+2) = Ax + B3x-2 + Cx+2
Multiplicando ambos os lados por x(3x-2)(x+2), obtemos a identidade
x^2+4 = A,(3x-2)(x+2) + B,x(x+2) + C,x(3x-2)

Passo 4

Para encontrar A,B,C usamos valores convenientes de x:
  • Em x=0: 4 = A(-2)(2) A=-1.
  • Em x=tfrac23: tfrac49+4 = B,(tfrac23)(tfrac83) B=tfrac52.
  • Em x=-2: 4+4=8 = C(-2)(-8) C=tfrac12.

Passo 5

Assim a integral se transforma em
integral l(-tfrac1x + tfrac5/23x-2 + tfrac1/2x+2r)dx
Integramos cada termo:
  • integral -1xdx = -ln|x|.
  • integral 13x-2dx = 13ln|3x-2|.
  • integral 1x+2dx = ln|x+2|.

Passo 6

Somando tudo e lembrando dos coeficientes, obtemos
-ln|x| + 52cdot13ln|3x-2| + 12ln|x+2| + C = -ln|x| + tfrac56ln|3x-2| + tfrac12ln|x+2| + C

Passo 7

Opcionalmente, podemos juntar os logaritmos em um só:
lnl((3x-2)^5/6(x+2)^1/2xr) + C

Resposta

-\ln|x| + \tfrac{5}{6}\ln|3x-2| + \tfrac{1}{2}\ln|x+2| + C

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