Calcule as integrais
integral x^3+10 x^2+3 x+36(x-1)(x^2+4)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x^3 + 10x^2 + 3x + 36(x-1),(x^2+4)^2,dx
O conteúdo é a técnica de frações parciais para decompor a função racional e depois integrar termo a termo usando fórmulas básicas como
integraldxx-1=ln|x-1|, integralx,dxx^2+a^2=tfrac12ln(x^2+a^2) e integraldxx^2+a^2=1aarctan!tfracxa.

Passo 2

Vamos escrever a decomposição em frações parciais da forma
x^3+10x^2+3x+36(x-1)(x^2+4)^2 = Ax-1 + Bx + Cx^2+4 + Dx + E(x^2+4)^2
Aqui A,B,C,D,E são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+4)^2, obtemos a identidade polinomial
x^3+10x^2+3x+36 = A,(x^2+4)^2 + (Bx+C),(x-1),(x^2+4) + (Dx+E),(x-1)
Expandindo (x^2+4)^2=x^4+8x^2+16 e (x-1)(x^2+4)=x^3-x^2+4x-4, e somando com (Dx+E)(x-1)=Dx^2+(E-D)x -E, igualamos coeficientes de x^4,x^3,x^2,x,1. O sistema resultante é:
A + B = 0, -B + C = 1, 8A + 4B - C + D = 10, -4B +4C + E - D = 3, 16A -4C - E = 36

Passo 4

Resolvendo o sistema de forma direta encontramos
A=2, B=-2, C=-1, D=1, E=0
Logo a decomposição fica
x^3+10x^2+3x+36(x-1)(x^2+4)^2 = 2x-1 + -2x -1x^2+4 + x(x^2+4)^2

Passo 5

Agora integramos cada parcela separadamente:
  1. integral 2x-1,dx = 2lnl|x-1r|.
  2. integral -2xx^2+4,dx = -ln(x^2+4) (pois u=x^2+4 leva a du=2x,dx).
  3. integral -1x^2+4,dx = -12arctan!x2.
  4. integral x(x^2+4)^2,dx: use u=x^2+4, du=2x,dx, dá
12integral u^-2,du = -12u = -12(x^2+4)

Passo 6

Somando tudo e juntando constantes de integração, obtemos
2lnl|x-1r| ;-;ln(x^2+4) ;-;12arctan!x2 ;-;12(x^2+4) + C

Resposta

boxed integral x^3+10x^2+3x+36(x-1)(x^2+4)^2,dx = 2lnl|x-1r| - ln(x^2+4) - 12arctan!x2 - 12(x^2+4) + C

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