Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
1^3+2^3+cdots+n^3=[n(n+1)2]^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que pede para provar, usando indução matemática, que a soma dos cubos dos números de 1 até $ n $ é igual ao quadrado da soma desses números. A fórmula é:
n
Para resolver isso, precisamos entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, que é quando $ n = 1 $. Isso significa que vamos substituir $ n $ por 1 na fórmula e ver se os dois lados são iguais.
Lado esquerdo:
n = 1
Lado direito:
n
Como os dois lados são iguais, a fórmula funciona para $ n = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para algum número $ k $. Isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, estamos supondo que:
k
Esse passo é essencial porque vamos usá-lo para provar que a fórmula também funciona para $ k + 1 $.

Passo 4

Nosso objetivo agora é mostrar que, se a fórmula funciona para $ k $, ela também funciona para $ k + 1 $. Vamos adicionar $ (k + 1)^{3} $ em ambos os lados da hipótese de indução:
k
Agora, vamos simplificar o lado direito:
k + 1
Fatorando $ (k + 1)^{2} $:
(k + 1)^3
Simplificando dentro do parêntese:
1^3 + 2^3 + cdots + k^3 + (k + 1)^3 = [k(k+1)2]^2 + (k + 1)^3
Isso resulta em:
[k(k+1)2]^2 + (k + 1)^3 = k^2(k+1)^24 + (k + 1)^3
Então, mostramos que:
(k + 1)^2

Resposta

Portanto, por indução matemática, a fórmula $ 1^{3} + 2^{3} + \cdots + n^{3} = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2} $ é válida para todo número natural $ n $.

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