Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que pede para provar, usando indução matemática, que a soma dos cubos dos números de 1 até $ n $ é igual ao quadrado da soma desses números. A fórmula é:
Para resolver isso, precisamos entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, que é quando $ n = 1 $. Isso significa que vamos substituir $ n $ por 1 na fórmula e ver se os dois lados são iguais.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os dois lados são iguais, a fórmula funciona para $ n = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para algum número $ k $. Isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, estamos supondo que:
Esse passo é essencial porque vamos usá-lo para provar que a fórmula também funciona para $ k + 1 $.
Passo 4
Nosso objetivo agora é mostrar que, se a fórmula funciona para $ k $, ela também funciona para $ k + 1 $. Vamos adicionar $ (k + 1)^{3} $ em ambos os lados da hipótese de indução:
Agora, vamos simplificar o lado direito:
Fatorando $ (k + 1)^{2} $:
Simplificando dentro do parêntese:
Isso resulta em:
Então, mostramos que:
Resposta
Portanto, por indução matemática, a fórmula $ 1^{3} + 2^{3} + \cdots + n^{3} = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2} $ é válida para todo número natural $ n $.