Calcule as integrais
integral x^4-5 x^3+6 x^2-18x^3-3 x^2 d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de uma função racional
integral x^4-5x^3+6x^2-18x^3-3x^2,dx
O conteúdo é integração de frações racionais, e vamos usar divisão polinomial seguida de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazendo divisão polinomial de x^4-5x^3+6x^2-18x^3-3x^2:
x^4-5x^3+6x^2-18x^3-3x^2 = x - 2 + -18x^2(x-3)
Logo a integral se separa em
integral x^4-5x^3+6x^2-18x^3-3x^2,dx = integral (x-2),dx ;-;18integral 1x^2(x-3),dx

Passo 3

Decompondo
1x^2(x-3) = Ax + Bx^2 + Cx-3,
multiplicamos por x^2(x-3) e igualamos coeficientes, obtendo
A=-tfrac19, B=-tfrac13, C=tfrac19
Portanto
-181x^2(x-3) =21x ;+;61x^2;-;21x-3

Passo 4

Substituindo no integrando, temos
x^4-5x^3+6x^2-18x^3-3x^2 = x - 2 + 21x + 61x^2 -21x-3
Agora integramos termo a termo:
integral x,dx = x^22, integral(-2),dx = -2x, integral 21x,dx = 2ln|x|, integral 6x^-2,dx = -6x, integral -21x-3,dx = -2ln|x-3|

Passo 5

Somando todos os resultados, a antiderivada geral é
x^22;-;2x;+;2ln|x|;-;6x;-;2ln|x-3|;+;C

Resposta

integral x^4-5x^3+6x^2-18x^3-3x^2,dx = x^22 - 2x + 2ln|x| - 6x - 2ln|x-3| + C

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