Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando indução matemática, que a soma da sequência
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais
. Vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o princípio da indução matemática. Basicamente, ele tem dois passos:
- Base de indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para
. - Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um certo
(isso é a hipótese de indução) e então mostrar que, sob essa suposição, a afirmação também é verdadeira para .
Se conseguirmos fazer esses dois passos, então podemos concluir que a fórmula vale para todo
natural.
Passo 3
Vamos começar com a base de indução, ou seja, verificar se a fórmula é verdadeira para
.
Calculando a soma para
:
Agora, vamos ver o que a fórmula dá para
:
Como
, a base de indução está confirmada. A fórmula funciona para
.
Passo 4
Agora, vamos para o passo indutivo. Vamos supor que a fórmula é verdadeira para
, ou seja:
Essa suposição é nossa hipótese de indução. Com base nela, queremos provar que a fórmula também vale para
, isto é:
Passo 5
Vamos simplificar o termo adicional na soma para
:
Então, a soma para
fica:
Passo 6
Vamos juntar os dois termos em uma fração só:
Agora, vamos multiplicar e simplificar o numerador:
Então, temos:
Passo 7
Vamos fatorar o numerador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
.
Observando:
Então, substituímos de volta na fração:
Passo 8
Vimos que após simplificar, a soma para
é igual a
. Observando que
, temos:
Isso mostra que se a fórmula funciona para
, ela também funciona para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a fórmula
é válida para todo número natural
.