Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
11.5+15.9+19.13+cdots+1(4 n-3)(4 n+1)=n4 n+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando indução matemática, que a soma da sequência 11cdot5 + 15cdot9 + 19cdot13 + cdots + 1(4n-3)(4n+1) é igual a n4n+1. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais n. Vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o princípio da indução matemática. Basicamente, ele tem dois passos:
  1. Base de indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para n = 1.
  2. Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um certo n = k (isso é a hipótese de indução) e então mostrar que, sob essa suposição, a afirmação também é verdadeira para n = k + 1.
Se conseguirmos fazer esses dois passos, então podemos concluir que a fórmula vale para todo n natural.

Passo 3

Vamos começar com a base de indução, ou seja, verificar se a fórmula é verdadeira para n = 1.
Calculando a soma para n = 1:
11cdot5 = 15
Agora, vamos ver o que a fórmula dá para n = 1:
14(1) + 1 = 15
Como 15 = 15, a base de indução está confirmada. A fórmula funciona para n = 1.

Passo 4

Agora, vamos para o passo indutivo. Vamos supor que a fórmula é verdadeira para n = k, ou seja:
11cdot5 + 15cdot9 + cdots + 1(4k-3)(4k+1) = k4k+1
Essa suposição é nossa hipótese de indução. Com base nela, queremos provar que a fórmula também vale para n = k + 1, isto é:
11cdot5 + 15cdot9 + cdots + 1(4k-3)(4k+1) + 1(4(k+1)-3)(4(k+1)+1) = k+14(k+1)+1

Passo 5

Vamos simplificar o termo adicional na soma para n = k + 1:
1(4(k+1)-3)(4(k+1)+1) = 1(4k + 4 -3)(4k + 4 +1) = 1(4k +1)(4k +5)
Então, a soma para n = k + 1 fica:
k4k+1 + 1(4k +1)(4k +5)

Passo 6

Vamos juntar os dois termos em uma fração só:
k4k+1 + 1(4k +1)(4k +5) = k(4k +5) + 1(4k +1)(4k +5)
Agora, vamos multiplicar e simplificar o numerador:
k(4k +5) + 1 = 4k^2 +5k +1
Então, temos:
4k^2 +5k +1(4k +1)(4k +5)

Passo 7

Vamos fatorar o numerador 4k^2 +5k +1. Procuramos dois números que multiplicados dão 4k^2 +5k +1.
Observando:
4k^2 +5k +1 = (4k^2 +4k) + (k +1) = 4k(k +1) +1(k +1) = (4k +1)(k +1)
Então, substituímos de volta na fração:
(4k +1)(k +1)(4k +1)(4k +5) = k +14k +5

Passo 8

Vimos que após simplificar, a soma para n = k + 1 é igual a k +14k +5. Observando que 4(k +1) +1 = 4k +4 +1 = 4k +5, temos:
k +14(k +1) +1
Isso mostra que se a fórmula funciona para n = k, ela também funciona para n = k +1.

Resposta

Portanto, por indução matemática, a fórmula 11cdot5 + 15cdot9 + 19cdot13 + cdots + 1(4n-3)(4n+1) = n4n+1 é válida para todo número natural n.

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