Calcule as integrais
integral x^2x^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2x^2-1,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional. Vamos usar divisão de polinômios para simplificar o integrando e depois decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômios:
x^2x^2-1 = x^2-1+1x^2-1 = 1 + 1x^2-1

Passo 3

Logo a integral se separa em
integral x^2x^2-1,dx = integral 1,dx + integral 1x^2-1,dx

Passo 4

A primeira parte é imediata:
integral 1,dx = x
Portanto resta calcular integral 1x^2-1,dx.

Passo 5

Para a segunda parte, usamos frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
1x^2-1 =Ax-1+Bx+1
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1), obtemos
1 = A(x+1) + B(x-1)
Igualando coeficientes:
para x: A+B=0, e termo constante: A - B = 1.
Dessa forma A=tfrac12 e B=-tfrac12.

Passo 6

Substituindo na integral:
integral 1x^2-1,dx = integral l(tfrac12,1x-1 - tfrac12,1x+1r),dx = tfrac12lnl|x-1r| - tfrac12lnl|x+1r| + C1

Passo 7

Juntando ambas as partes e absorvendo constantes em C:
integral x^2x^2-1,dx = x + tfrac12lnl|x-1r| - tfrac12lnl|x+1r| + C
Podemos também escrever o logaritmo combinado:
x + 12lngl|x-1x+1gr| + C

Resposta

boxed integral x^2x^2-1,dx = x + 12lngl|x-1x+1gr| + C

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