Calcule as integrais
integral 8-3 t10 t^2+13 t-3 d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida da função racional
integral 8 - 3t10t^2 + 13t - 3,dt
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador resolvendo
10t^2 + 13t - 3 = 0
O discriminante é De<a = 13^2 + 4cdot10cdot3 = 289, cujas raízes são
t = -13 pm 1720 ;Longrightarrow; t = 15,;t = -32
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10t^2 + 13t - 3 = 10l(t - tfrac15r)l(t + tfrac32r)

Passo 3

Escrevemos a fração como soma de dois termos simples:
8 - 3t10(t - tfrac15)(t + tfrac32) = At + tfrac32 + Bt - tfrac15
Multiplicando ambos os lados por 10(t - tfrac15)(t + tfrac32) obtemos
8 - 3t = 10l[Al(t - tfrac15r) + Bl(t + tfrac32r)r]

Passo 4

Expandindo e comparando coeficientes de t e termo constante, vem o sistema
A + B = -tfrac310, -tfracA5 + tfrac3B2 = tfrac45
Multiplicando por 10 em cada equação, resolvemos e achamos
B = 3785, A = -2534

Passo 5

Substituindo na integral, temos
integral 8 - 3t10t^2 + 13t - 3,dt = integral At + tfrac32,dt + integral Bt - tfrac15,dt = A lnl|t + tfrac32r| + B lnl|t - tfrac15r| + C

Passo 6

Finalmente, substituindo A e B:
integral 8 - 3t10t^2 + 13t - 3,dt = -2534lnl|t + tfrac32r| + 3785lnl|t - tfrac15r| + C

Resposta

boxed integral 8 - 3t10t^2 + 13t - 3,dt = -2534,lnl|t + tfrac32r| + 3785,lnl|t - tfrac15r| + C

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