Calcule as integrais
integral 4x^2+5 x-14 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 4x^2+5x-14,dx. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais: vamos fatorar o denominador, expressar a função como soma de termos simples e depois usar a primitiva de tfrac1x-a.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador:
x^2+5x-14 = (x-2)(x+7)

Passo 3

Assumimos a decomposição
4(x-2)(x+7) = Ax-2 + Bx+7
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+7),
4 = A(x+7) + B(x-2)
Para x=2 temos 4 = 9A logo A = tfrac49. Para x=-7 temos 4 = -9B logo B = -tfrac49.

Passo 4

Substituindo A e B na integral,
integral 4x^2+5x-14,dx = 49integral 1x-2,dx ;-;49integral 1x+7,dx
Como
integral 1x-a,dx = lnlvert x-arvert + C,
segue
49lnlvert x-2rvert ;-;49lnlvert x+7rvert + C

Passo 5

Usando a propriedade dos logaritmos para combinar termos:
49l(lnlvert x-2rvert - lnlvert x+7rvertr) = 49lnllvert x-2x+7rrvert + C

Resposta

integral 4x^2+5x-14,dx = 49ln!llvert tfracx-2x+7rrvert + C

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