Calcule as integrais
integral-1^0 w^2+7 w(w+2)(w-1)(w-4) d w

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral-1^0w^2+7w(w+2)(w-1)(w-4),dw
O conteúdo é integração de função racional por frações parciais. Vamos decompor o integrando em termos de tfrac1w+2, tfrac1w-1 e tfrac1w-4 e depois usar antiderivadas logarítmicas.

Passo 2

Procuramos constantes A,B,C tais que
w^2+7w(w+2)(w-1)(w-4) =Aw+2+Bw-1+Cw-4
Multiplicando por (w+2)(w-1)(w-4), obtemos
A(w-1)(w-4)+B(w+2)(w-4)+C(w+2)(w-1)=w^2+7w
Expandindo e coletando coeficientes de w^2, w e termo constante vem o sistema
A+B+C=1, -5A-2B+C=7, 4A-8B-2C=0

Passo 3

Da primeira equação C=1-A-B. Substituindo na segunda:
-5A-2B+(1-A-B)=7 ;Longrightarrow;-6A-3B=6 ;Longrightarrow;2A+B=-2 ;Longrightarrow;B=-2-2A
Logo C=1-A-(-2-2A)=3+A. Na terceira equação:
4A-8(-2-2A)-2(3+A)=0 ;Longrightarrow;18A+10=0 ;Longrightarrow;A=-tfrac59
Então
B=-tfrac89, C=tfrac229

Passo 4

A integral vira
integral-1^0l(-tfrac59tfrac1w+2-tfrac89tfrac1w-1+tfrac229tfrac1w-4r)dw =19l[-5ln|w+2|-8ln|w-1|+22ln|w-4|r]-1^0

Passo 5

Avaliação em w=0:
-5ln2 -8ln1 +22ln4 =-5ln2 +22cdot2ln2 =39ln2
Em w=-1:
-5ln1 -8ln2 +22ln5 =-8ln2 +22ln5
Diferença:
39ln2-(-8ln2+22ln5) =47ln2-22ln5
Multiplicando por tfrac19 dá o valor da integral.

Resposta

integral-1^0w^2+7w(w+2)(w-1)(w-4),dw =47ln2 - 22ln59

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