Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, o objetivo é provar, por indução, que
O conteúdo teórico é o princípio de indução para somatórios: primeiro verificamos a base, depois o passo indutivo.
Passo 2
Verificamos a base da indução em
. O lado esquerdo é
e o lado direito é
Como ambos são iguais, a fórmula vale para
.
Passo 3
Suponha que a fórmula seja verdadeira para
, ou seja,
Então para
temos
Colocando tudo sobre o mesmo denominador,
Como
segue que
ou seja, vale para
.
Passo 4
Pelo princípio da indução finita, a fórmula é válida para todo
natural.