Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
11.2 3+12.3 4+cdots+1n(n+1)(n+2)=n(n+3)4(n+1)(n+2).

Passo 1

Resumindo o enunciado, o objetivo é provar, por indução, que
11cdot 2cdot 3+12cdot 3cdot 4+cdots+1n(n+1)(n+2) =n(n+3)4(n+1)(n+2)
O conteúdo teórico é o princípio de indução para somatórios: primeiro verificamos a base, depois o passo indutivo.

Passo 2

Verificamos a base da indução em n=1. O lado esquerdo é
11cdot 2cdot 3 = 16
e o lado direito é
1cdot(1+3)4,(1+1)(1+2) = 44cdot 2cdot 3 = 424 = 16
Como ambos são iguais, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Suponha que a fórmula seja verdadeira para n=k, ou seja,
sumi=1^k1i(i+1)(i+2) = k(k+3)4(k+1)(k+2)
Então para n=k+1 temos
sumi=1^k+11i(i+1)(i+2) = k(k+3)4(k+1)(k+2) + 1(k+1)(k+2)(k+3)
Colocando tudo sobre o mesmo denominador,
k(k+3),(k+3) + 44,(k+1)(k+2)(k+3) = k^3 + 6k^2 + 9k + 44,(k+1)(k+2)(k+3)
Como
(k+1)^2(k+4) = k^3 + 6k^2 + 9k + 4,
segue que
sumi=1^k+11i(i+1)(i+2) = (k+1)(k+4)4,(k+2)(k+3),
ou seja, vale para n=k+1.

Passo 4

Pelo princípio da indução finita, a fórmula é válida para todo n natural.

Resposta

11cdot 2cdot 3+12cdot 3cdot 4+cdots+1n(n+1)(n+2) =n(n+3)4(n+1)(n+2)

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