Calcule as integrais
integral 83 x^3+7 x^2+4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 83x^3+7x^2+4x,dx
O conteúdo principal aqui é a integração de uma função racional, que faremos usando decomposição em frações parciais.

Passo 2

Observe que o denominador pode ser fatorado:
3x^3+7x^2+4x = x,(3x^2+7x+4) e 3x^2+7x+4=(3x+4)(x+1)
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83x^3+7x^2+4x =8x,(x+1),(3x+4)

Passo 3

Montamos a fração parcial da forma
8x,(x+1),(3x+4) =Ax+Bx+1+C3x+4
Multiplicando ambos os lados por x(x+1)(3x+4) obtemos a identidade
8 = A,(x+1)(3x+4) + B,x(3x+4) + C,x(x+1)
Expandindo, os coeficientes de x^2, x e constante devem satisfazer
3A + 3B + C = 0, 7A + 4B + C = 0, 4A = 8

Passo 4

Da terceira equação vem A=2. Substituindo em
3cdot2 + 3B + C = 0 Longrightarrow 6 +3B + C=0,
e em
7cdot2 +4B + C = 0 Longrightarrow 14 +4B + C=0,
resolvendo ficamos com
B=-8, C=18
Assim
8x,(x+1),(3x+4) =2x - 8x+1 + 183x+4

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 2x,dx = 2ln|x|, integral -8x+1,dx = -8ln|x+1|,
para o último fazemos u=3x+4, du=3,dx:
integral 183x+4,dx =18integral 1u,du3 =6ln|u| =6ln|3x+4|
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

integral 83x^3+7x^2+4x,dx =2ln|x| -8ln|x+1| +6ln|3x+4| + C

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