Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Tenho aqui um exercício que pede para mostrar, usando indução, que a seguinte soma é válida:
Vamos usar indução matemática para provar isso. Basicamente, a indução é uma técnica que ajuda a mostrar que uma fórmula funciona para todo número natural
. Precisamos verificar o caso base (quando
) e depois mostrar que, se funciona para um certo
, também funciona para
.
Passo 2
Caso Base (
):
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona quando
.
À esquerda da igualdade, temos apenas o primeiro termo da soma:
À direita da igualdade:
Como os dois lados são iguais (
), o caso base está confirmado!
Passo 3
Hipótese de Indução:
Agora, vamos supor que a fórmula funciona para algum número
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e vamos usá-la para provar que a fórmula também é válida para
.
Passo 4
Passo Indutivo (
):
Queremos mostrar que:
Primeiro, vamos usar a hipótese de indução para a primeira parte da soma:
Agora, vamos somar essas duas frações. Para isso, temos que colocar as duas frações com o mesmo denominador:
Vamos simplificar o numerador:
Então, temos:
Podemos fatorar o numerador:
Portanto:
Que é exatamente o que queríamos mostrar para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a fórmula
é válida para todo número natural
.