Mostre, por indução, a validade da seguinte fórmula:
1^21.3+2^23.5+cdots+n^2(2 n-1)(2 n+1)=n(n+1)2(2 n+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Tenho aqui um exercício que pede para mostrar, usando indução, que a seguinte soma é válida:
1^21 cdot 3 + 2^23 cdot 5 + cdots + n^2(2n-1)(2n+1) = n(n+1)2(2n+1)
Vamos usar indução matemática para provar isso. Basicamente, a indução é uma técnica que ajuda a mostrar que uma fórmula funciona para todo número natural n . Precisamos verificar o caso base (quando n = 1 ) e depois mostrar que, se funciona para um certo k , também funciona para k+1 .

Passo 2

Caso Base ( n = 1 ):
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona quando n = 1 .
À esquerda da igualdade, temos apenas o primeiro termo da soma:
1^21 cdot 3 = 13
À direita da igualdade:
1(1+1)2(2 cdot 1 + 1) = 22 cdot 3 = 26 = 13
Como os dois lados são iguais ( 13 = 13 ), o caso base está confirmado!

Passo 3

Hipótese de Indução:
Agora, vamos supor que a fórmula funciona para algum número k . Ou seja, assumimos que:
1^21 cdot 3 + 2^23 cdot 5 + cdots + k^2(2k-1)(2k+1) = k(k+1)2(2k+1)
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e vamos usá-la para provar que a fórmula também é válida para k + 1 .

Passo 4

Passo Indutivo ( n = k + 1 ):
Queremos mostrar que:
1^21 cdot 3 + 2^23 cdot 5 + cdots + k^2(2k-1)(2k+1) + (k+1)^2(2(k+1)-1)(2(k+1)+1) = (k+1)(k+2)2(2(k+1)+1)
Primeiro, vamos usar a hipótese de indução para a primeira parte da soma:
k(k+1)2(2k+1) + (k+1)^2(2k+1)(2k+3)
Agora, vamos somar essas duas frações. Para isso, temos que colocar as duas frações com o mesmo denominador:
k(k+1)(2k+3) + 2(k+1)^22(2k+1)(2k+3)
Vamos simplificar o numerador:
k(k+1)(2k+3) + 2(k+1)^2 = (k+1)[k(2k+3) + 2(k+1)] = (k+1)(2k^2 + 3k + 2k + 2) = (k+1)(2k^2 + 5k + 2)
Então, temos:
(k+1)(2k^2 + 5k + 2)2(2k+1)(2k+3)
Podemos fatorar o numerador:
2k^2 + 5k + 2 = (2k + 1)(k + 2)
Portanto:
(k+1)(2k + 1)(k + 2)2(2k+1)(2k+3) = (k+1)(k + 2)2(2k+3)
Que é exatamente o que queríamos mostrar para n = k + 1 .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a fórmula
1^21 cdot 3 + 2^23 cdot 5 + cdots + n^2(2n-1)(2n+1) = n(n+1)2(2n+1)
é válida para todo número natural n .

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