Calcule as integrais
integral2^4 3 z^2+1(z+1)(z-5)^2 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral2^4 3z^2+1(z+1),(z-5)^2 ,dz
O conteúdo necessário é decomposição em frações parciais de uma função racional e depois integração termo a termo.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais
3z^2+1(z+1),(z-5)^2 =Az+1+Bz-5+C(z-5)^2
Multiplicando ambos os lados por (z+1)(z-5)^2 obtemos
3z^2+1 = A(z-5)^2 + B(z+1)(z-5) + C(z+1)

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes em z^2, z e termo constante, resolvemos o sistema e achamos
A=tfrac19, B=tfrac269, C=tfrac383

Passo 4

Integrando termo a termo, se
F(z)=integral 3z^2+1(z+1)(z-5)^2,dz,
então
F(z) =19lnl|z+1r| +269lnl|z-5r| -383,1z-5 +K

Passo 5

Agora avaliamos F em z=4 e z=2:
Em z=4:
F(4) =19ln5 +269ln1 -383l(1-1r) =19ln5 + 383
Em z=2:
F(2) =19ln3 +269ln3 -383l(1-3r) =279ln3 + 389 =3ln3 + 389

Passo 6

A integral definida é
F(4)-F(2) =l(19ln5 + 383r) -l(3ln3 + 389r) =19ln5 -3ln3 + 769

Resposta

integral2^4 3z^2+1(z+1),(z-5)^2 ,dz =19ln5 ;-;3ln3 ;+;769

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