Calcule as integrais
integral 4 x-11x^3-9 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 4x - 11x^3 - 9x^2 , dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional e vamos usar frações parciais. Primeiro fatoramos o denominador e depois escrevemos a decomposição em frações simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^3 - 9x^2 = x^2(x - 9)
Assim, podemos escrever
4x - 11x^3 - 9x^2 = 4x - 11x^2(x - 9) = Ax + Bx^2 + Cx - 9

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^2(x-9) para obter a identidade
4x - 11 = A,x(x - 9) + B,(x - 9) + C,x^2

Passo 4

Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes com
Da última equação vem
E de segue .

Passo 5

Logo a integral fica
integral 4x - 11x^2(x-9),dx = integral l(Ax + Bx^2 + Cx-9r),dx = Aintegral dxx + Bintegral x^-2dx + Cintegral dxx-9
Cada termo integra assim:
integral dxx = lnlvert xrvert, integral x^-2dx = -1x, integral dxx-9 = lnlvert x-9rvert

Passo 6

Substituindo A=-tfrac2581, B=tfrac119, C=tfrac2581, obtemos
integral 4x - 11x^3 - 9x^2,dx = -tfrac2581,lnlvert xrvert - tfrac119,l(-tfrac1xr) + tfrac2581,lnlvert x-9rvert + C
Reorganizando o termo de x^-2,
- tfrac119l(-tfrac1xr) = -119x

Resposta

boxed integral 4x - 11x^3 - 9x^2,dx = -tfrac2581lnlvert xrvert - tfrac119x + tfrac2581lnlvert x-9rvert + C

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