Calcule as integrais
integral z^2+2 z+3(z-6)(z^2+4) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral z^2 + 2z + 3(z - 6)(z^2 + 4),dz
usando a técnica de frações parciais para funções racionais.

Passo 2

Como o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), podemos escrever
z^2 + 2z + 3(z - 6)(z^2 + 4) = Az - 6 + Bz + Cz^2 + 4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (z - 6)(z^2 + 4), obtemos
z^2 + 2z + 3 = A(z^2 + 4) + (Bz + C)(z - 6)
Expandindo,
z^2 + 2z + 3 = (A + B)z^2 + (-6B + C)z + (4A - 6C)
Igualando coeficientes resulta no sistema
A + B = 1, -6B + C = 2, 4A - 6C = 3

Passo 4

Resolvendo o sistema, de A + B = 1 vem B = 1 - A. Substituindo em -6B + C = 2 C = 8 - 6A. Plugando em 4A - 6C = 3 temos
4A - 6(8 - 6A) = 3 implies 40A = 51 implies A = 5140,
Logo
B = 1 - 5140 = -1140, C = 8 - 6cdot5140 = 720

Passo 5

Portanto, a integral fica
integral z^2 + 2z + 3(z - 6)(z^2 + 4),dz = integral tfrac5140z - 6,dz + integral -tfrac1140z + tfrac720z^2 + 4,dz

Passo 6

Integramos termo a termo:
  1. integral tfrac5140z - 6,dz = 5140lnl|z - 6r|
  2. Para integral -tfrac1140zz^2 + 4,dz, use u = z^2 + 4, logo
integral -tfrac1140zz^2 + 4,dz = -1180lnl(z^2 + 4r)
  1. Para integral tfrac720z^2 + 4,dz, use a fórmula
    integral dzz^2 + a^2 = 1aarctan!za com a = 2, resultando
integral 7/20z^2 + 4,dz = 740arctan!z2
Somando tudo, obtemos a primitiva.

Resposta

integral z^2 + 2z + 3(z - 6)(z^2 + 4),dz = 5140lnl|z - 6r| - 1180lnl(z^2 + 4r) + 740arctan!z2 + C

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