Calcule as integrais:
integral (x+3)^5(40-6 x-x^2)^32 d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral (x+3)^5l(40 - 6x - x^2r)^3/2,dx
O conteúdo principal é usar substituição para aproveitar que
tfracddx(40 - 6x - x^2) = -2(x+3),
presente no numerador. Vamos, portanto, trocar para uma variável u de forma a simplificar a raiz no denominador.

Passo 2

Definimos
u = 40 - 6x - x^2,
de onde
du = -(6 + 2x),dx = -2(x+3),dx Longrightarrow (x+3),dx = -tfrac12,du
Além disso, note que
u = 40 - l(x^2 + 6xr) = 40 - l((x+3)^2 - 9r) = 49 - (x+3)^2 ;Longrightarrow; (x+3)^2 = 49 - u

Passo 3

Reescrevendo o integrando em u:
(x+3)^5,dx = (x+3)^4,(x+3),dx = l((x+3)^2r)^2!l(-tfrac12,dur) = -tfrac12,(49 - u)^2,du,
e
(40 - 6x - x^2)^3/2 = u^3/2
Logo
integral (x+3)^5(40 - 6x - x^2)^3/2,dx = -tfrac12 integral (49 - u)^2u^3/2,du
Expandimos (49-u)^2 = u^2 - 98u + 2401.

Passo 4

A integral torna-se
-tfrac12 integral l(u^2 - 98u + 2401r),u^-3/2,du = -tfrac12 integral l(u^1/2 - 98u^-1/2 + 2401u^-3/2r),du
Aplicando a regra de potência em cada termo:
integral u^1/2,du = tfrac23u^3/2, integral u^-1/2,du = 2u^1/2, integral u^-3/2,du = -2u^-1/2,
obtemos
-tfrac12l(tfrac23u^3/2 - 98cdot 2,u^1/2 + 2401cdot(-2),u^-1/2r) = -tfrac13u^3/2 + 98,u^1/2 + 2401,u^-1/2 + C

Passo 5

Voltando a x com u = 40 - 6x - x^2, a antiderivada final é
-13l(40 - 6x - x^2r)^3/2 + 98l(40 - 6x - x^2r)^1/2 + 2401l(40 - 6x - x^2r)^-1/2 + C

Resposta

-13l(40 - 6x - x^2r)^3/2 + 98l(40 - 6x - x^2r)^1/2 + 2401l(40 - 6x - x^2r)^-1/2 + C

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