Seja
F(x)=integralx^2-3 x^x^2+x(1+sin (t^3)) d x
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=F(x) no ponto x=1.

Passo 1

O enunciado define
F(x)=integralx^2-3x^,x^2+xl(1+sin(t^3)r),dt
e pede a reta tangente ao gráfico de y=F(x) em x=1.
Para isso precisamos de dois ingredientes:
  1. O valor de F(1).
  2. A derivada F'(x) pelo Teorema de Leibniz, dada por
F'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x),
onde a(x)=x^2-3x, b(x)=x^2+x e f(t)=1+sin(t^3).

Passo 2

Vamos calcular F'(x).
Temos
a(x)=x^2-3x, a'(x)=2x-3,
b(x)=x^2+x, b'(x)=2x+1,
e
fl(tr)=1+sinl(t^3r)
Logo, pela regra de Leibniz,
F'(x)=l[1+sinl((x^2+x)^3r)r],(2x+1);-;l[1+sinl((x^2-3x)^3r)r],(2x-3)

Passo 3

Agora avaliamos em x=1.
Calculamos primeiro os limites de integração e suas derivadas:
b(1)=1^2+1=2, b'(1)=2cdot1+1=3,
a(1)=1^2-3cdot1=-2, a'(1)=2cdot1-3=-1
Então
fl(b(1)r)=1+sin(2^3)=1+sin(8),
fl(a(1)r)=1+sin((-2)^3)=1+sin(-8)=1-sin(8)
Substituindo em F'(1):
F'(1)=l(1+sin 8r)cdot3 ;-;l(1-sin 8r)cdot(-1) =3+3sin 8 +1-sin 8 =4+2sin 8

Passo 4

Agora F(1).
F(1)=integrala(1)^b(1)l(1+sin(t^3)r),dt =integral-2^21,dt ;+;integral-2^2sin(t^3),dt
A primeira integral é integral-2^21,dt=4.
A segunda é zero porque sin(t^3) é função ímpar e o intervalo é simétrico, logo
integral-2^2sin(t^3),dt=0.
Portanto
F(1)=4

Passo 5

A equação da reta tangente em x=1 é
y - F(1) = F'(1),(x-1)
Substituindo F(1)=4 e F'(1)=4+2sin 8, obtemos
y-4=(4+2sin 8),(x-1)

Resposta

A reta tangente é
boxedy-4=(4+2sin 8),(x-1)

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