Seja
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado define
e pede a reta tangente ao gráfico de
em
.
Para isso precisamos de dois ingredientes:
Para isso precisamos de dois ingredientes:
- O valor de
. - A derivada
pelo Teorema de Leibniz, dada por
onde
,
e
.
Passo 2
Vamos calcular
.
Temos
Temos
e
Logo, pela regra de Leibniz,
Passo 3
Agora avaliamos em
.
Calculamos primeiro os limites de integração e suas derivadas:
Calculamos primeiro os limites de integração e suas derivadas:
Então
Substituindo em
:
Passo 4
Agora
.
A primeira integral é
.
A segunda é zero porque é função ímpar e o intervalo é simétrico, logo
.
Portanto
A segunda é zero porque
Portanto
Passo 5
A equação da reta tangente em
é
Substituindo
e
, obtemos
Resposta
A reta tangente é