Calcule as integrais:
integral x(x-1)^1000 d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral x,(x-1)^1000,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos uma função composta (x-1)^1000 multiplicada por x. Vamos usar uma mudança de variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Faça a substituição
u = x - 1
Então
x = u + 1 e dx = du
Substituindo na integral original, temos
integral x,(x-1)^1000,dx = integral (u+1),u^1000,du

Passo 3

Expanda o integrando e separe em duas potências de u:
integral (u+1),u^1000,du = integral l(u^1001 + u^1000r),du
Agora aplique a regra de potência integral u^n,du = u^n+1n+1.

Passo 4

Integrando cada termo:
integral u^1001,du = u^10021002, integral u^1000,du = u^10011001
Logo,
integral l(u^1001 + u^1000r),du = u^10021002 + u^10011001 + C
Por fim, volte à variável x usando u = x - 1.

Resposta

(x-1)^10021002 ;+;(x-1)^10011001;+;C

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