Calcule o volume do sólido obtido rotacionando a região limitada pelas curvas:
y=10-6 x+x^2, y=-10+6 x-x^2, x=1 e x=5 em torno da reta y=8;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno de y=8 a região limitada pelas curvas
y1(x)=x^2-6x+10, y2(x)=-x^2+6x-10, x=1, x=5
O método aqui é o dos anéis (discos com furo): para cada xin[1,5] o sólido gerado tem seção perpendicular a x com raio externo Rext(x) e raio interno Rint(x).

Passo 2

Como a reta de rotação y=8 está acima de toda a região (pois max y1=5<8), o ponto mais afastado dela é y2 (menor) e o mais próximo é y1 (maior). Assim
Rext(x)=8-y2(x), Rint(x)=8-y1(x)

Passo 3

O volume é
V=piintegral1^5l[Rext(x)^2-Rint(x)^2r];dx =piintegral1^5l[(8-y2)^2-(8-y1)^2r],dx

Passo 4

Expandindo a diferença de quadrados e usando
y1(x)+y2(x)=l(x^2-6x+10r)+l(-x^2+6x-10r)=0,
vem
(8-y2)^2-(8-y1)^2 =16l(y1-y2r) =16cdot2l(x^2-6x+10r) =32,y1(x)
Logo
V=32piintegral1^5y1(x),dx =32piintegral1^5(x^2-6x+10),dx

Passo 5

Calculemos a integral:
integral1^5(x^2-6x+10),dx =l[tfracx^33-3x^2+10xr]1^5 =(tfrac1253-75+50)-(tfrac13-3+10) =tfrac283
Assim
V=32picdottfrac283 =tfrac8963,pi

Resposta

V=8963,pi

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