Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral tg(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tan(x),dx
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade tan(x)=sin(x)cos(x) junto com uma substituição apropriada.

Passo 2

Usamos a identidade
tan(x)=sin(x)cos(x),
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integral tan(x),dx = integral sin(x)cos(x),dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cos(x),
então
du = -sin(x),dx Longrightarrow -!du = sin(x),dx
Substituindo na integral, obtemos
integral sin(x)cos(x),dx = integral -duu = -integral 1u,du

Passo 4

A integral de 1/u é o logaritmo natural, portanto
-integral 1u,du = -lnlvert urvert + C

Passo 5

Voltando à variável x com u=cos(x), temos
-lnlvert cos(x)rvert + C
Em alternativa, pode-se usar a função secante e escrever
lnlvert sec(x)rvert + C

Resposta

integral tan(x),dx = -lnlvert cos(x)rvert + C

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