Calcule as integrais:
integral 2+7 sin ^3 xcos ^2 x d x;

Passo 1

O enunciado pede
integral 2 + 7sin^3 xcos^2 x,dx
Vamos usar identidades trigonométricas para quebrar essa fração em termos cujas primitivas conhecemos: integral sec^2 x,dx, integral sec xtan x,dx e integral sin x,dx.

Passo 2

Separemos o integrando em duas parcelas:
2 + 7sin^3 xcos^2 x = 2,1cos^2 x ;+; 7,sin^3 xcos^2 x = 2sec^2 x ;+; 7,sin^3 xcos^2 x

Passo 3

Na segunda parcela, observe que
sin^3 xcos^2 x = sin x;sin^2 xcos^2 x = sin x;tan^2 x
e use a identidade tan^2 x = sec^2 x - 1. Assim
sin^3 xcos^2 x = sin xl(sec^2 x - 1r) = sin x,sec^2 x ;-;sin x

Passo 4

Substituindo de volta no integrando, obtemos
2 + 7sin^3 xcos^2 x = 2sec^2 x + 7l(sin x,sec^2 x - sin xr) = 2sec^2 x + 7sin x,sec^2 x - 7sin x

Passo 5

Integramos termo a termo:
  • integral 2sec^2 x,dx = 2tan x
  • Note que sin x,sec^2 x = tan x,sec x e ddx(sec x)=sec xtan x, logo integral 7sin x,sec^2 x,dx = 7integral sec xtan x,dx = 7sec x
  • Por fim,
    integral -7sin x,dx = 7cos x
Somando tudo mais a constante C, a primitiva é
2tan x + 7sec x + 7cos x + C

Resposta

2tan x + 7sec x + 7cos x + C

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