Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral tg(x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral tan^3 x , dx
Este é um caso de integração de função trigonométrica. Vamos usar a identidade
tan^2 x = sec^2 x - 1
para reescrever o integrando de forma conveniente.

Passo 2

Reescrevendo o integrando com a identidade, temos
integral tan^3 x , dx = integral tan x cdot tan^2 x , dx = integral tan x ,(sec^2 x - 1),dx
e isso se separa em duas integrais:
integral tan x,sec^2 x,dx ;-;integral tan x,dx

Passo 3

Para a primeira parte
integral tan x,sec^2 x,dx,
fazemos a substituição
u = tan x, du = sec^2 x,dx
Assim
integral tan x,sec^2 x,dx = integral u,du = u^22 = tan^2 x2

Passo 4

Para a segunda parte
integral tan x,dx,
recordamos que
ddx(ln|cos x|) = -tan x,
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integral tan x,dx = -lnl|cos xr|

Passo 5

Combinando os resultados das duas integrais, obtemos
integral tan^3 x,dx = tan^2 x2 - l(-ln|cos x|r) + C = tan^2 x2 + lnl|cos xr| + C

Resposta

integral tan^3 x,dx = 12tan^2 x + lnl|cos xr| + C

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