Calcule o volume do sólido obtido rotacionando a região limitada pelas curvas:
x=y^2-4, x=6-3 y em torno da reta x=24.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=24 a região limitada pelas curvas
x = y^2-4
e
x = 6 - 3y
Aqui vamos usar o método dos discos (washers) com fatias horizontais, porque ambas as curvas estão dadas como x=f(y) e a reta de rotação é vertical.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo
y^2-4 = 6-3y ;Longrightarrow; y^2 + 3y - 10 = 0
As raízes são
y = -3 pm raiz9 + 402 = -3 pm 72,
ou seja y = 2 e y = -5. Logo a região vai de y=-5 até y=2.

Passo 3

Para cada y fixo a fatia horizontal vai de
xesquerda = y^2 - 4 até xdireita = 6 - 3y é
Ao girar em torno de x=24, o ponto mais à esquerda gera o raio externo
R(y) = 24 - l(y^2 - 4r) = 28 - y^2,
e o ponto mais à direita gera o raio interno
r(y) = 24 - l(6 - 3yr) = 18 + 3y

Passo 4

Pela fórmula dos washers, o volume é
V = integraly=-5^2 pil[R(y)^2 - r(y)^2r],dy = pi integral-5^2 l[(28 - y^2)^2 - (18 + 3y)^2r],dy

Passo 5

Expandindo o integrando:
(28 - y^2)^2 = y^4 - 56y^2 + 784, (18 + 3y)^2 = 9y^2 + 108y + 324,
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(28 - y^2)^2 - (18+3y)^2 = y^4 - 65y^2 - 108y + 460
Um antiderivado é
F(y) = y^55 - 65,y^33 - 54,y^2 + 460,y

Passo 6

Calculamos F(2) e F(-5):
F(2) = 325 - 65cdot83 - 54cdot4 + 460cdot2 = 805615,
F(-5) = -31255 - 65cdot(-125)3 - 54cdot25 + 460cdot(-5) = -47003
Assim
integral-5^2!(dots),dy = F(2)-F(-5) = 805615 + 47003 = 3155615

Resposta

V = pi ,cdot 3155615 = 31556pi15

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