Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral sec (x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sec^3(x),dx
O conteúdo envolvido é o tratamento de potências ímpares de sec(x). Vamos usar integração por partes junto com a identidade tan^2(x)=sec^2(x)-1.

Passo 2

Separemos
integral sec^3(x),dx = integral sec(x),sec^2(x),dx
e fazemos a escolha para integração por partes:
u = sec(x), dv = sec^2(x),dx

Passo 3

Calculamos
du = sec(x)tan(x),dx, v = integral sec^2(x),dx = tan(x)
Pela fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, temos
integral sec^3(x),dx = sec(x)tan(x) - integral tan(x)l[sec(x)tan(x)r],dx

Passo 4

No segundo termo aparece tan(x)sec(x)tan(x)=sec(x)tan^2(x). Usando tan^2(x)=sec^2(x)-1,
integral sec(x)tan^2(x),dx = integral sec(x)l(sec^2(x)-1r),dx = integral sec^3(x),dx ;-;integral sec(x),dx
Assim
integral sec^3(x),dx = sec(x)tan(x) - l[integral sec^3(x),dx - integral sec(x),dxr]

Passo 5

Reagrupando termos,
integral sec^3(x),dx + integral sec^3(x),dx = 2integral sec^3(x),dx = sec(x)tan(x) + integral sec(x),dx
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integral sec^3(x),dx = 12l(sec(x)tan(x) + integral sec(x),dxr)

Passo 6

Sabemos que
integral sec(x),dx = lnl|sec(x)+tan(x)r| + C
Substituindo, obtemos
integral sec^3(x),dx = 12sec(x)tan(x) + 12lnl|sec(x)+tan(x)r| + C

Resposta

boxedintegral sec^3(x),dx = 12,sec(x)tan(x) + 12,lnl|sec(x)+tan(x)r| + C

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