Calcule as integrais:
integral csc ^4 x(sin ^5 x-cos ^3 x) d x;

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
csc^4xl(sin^5x-cos^3xr)
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas usando identidades e separação em termos mais simples. Vamos reescrever o integrando, separar em duas integrais e usar substituição onde for conveniente.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em potências de sin x e cos x:
csc^4xsin^5x =sin^5xsin^4x =sin x,
csc^4xcos^3x =cos^3xsin^4x

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
integral csc^4xl(sin^5x-cos^3xr),dx =integral sin x,dx ;-;integral cos^3xsin^4x,dx

Passo 4

A primeira integral é imediata:
integral sin x,dx=-cos x

Passo 5

Para a segunda integral, usemos a identidade cos^2x=1-sin^2x e a substituição u=sin x, du=cos x,dx:
integral cos^3xsin^4x,dx =integral cos^2x;cos x,dxsin^4x =integral 1-u^2u^4,du =integrall(u^-4-u^-2r),du
Integrando em u:
integral u^-4,du=-13u^-3, integral u^-2,du=-u^-1,
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integral cos^3xsin^4x,dx =-13u^3+u^-1+C =-13sin^3x+csc x +C

Passo 6

Reunindo os resultados:
integral csc^4xl(sin^5x-cos^3xr),dx =-cos x -l(-tfrac13sin^3x+csc xr)+C =13sin^3x-csc x-cos x +C

Resposta

boxed13sin^3x-1sin x-cos x +C

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