Calcule as integrais:
integral 1raiz9 x^2-36 x+37 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1raiz9x^2-36x+37;dx
O conteúdo aqui é o método de completar o quadrado em uma expressão quadrática, seguido do uso da fórmula padrão
integral duraizu^2+a^2 = arcsinh!l(uar) + C

Passo 2

Começamos completando o quadrado no radicando:
9x^2-36x+37 = 9l(x^2-4xr)+37
Dentro de parênteses, adicionamos e subtraímos 4:
x^2-4x = (x^2-4x+4)-4 = (x-2)^2-4
Logo,
9x^2-36x+37 = 9l[(x-2)^2-4r] + 37 = 9(x-2)^2 -36 +37 = 9(x-2)^2 +1

Passo 3

Substituímos na integral:
integral 1raiz9(x-2)^2+1;dx
Fatoramos 9 dentro da raiz:
raiz9(x-2)^2+1 = raiz9l((x-2)^2+tfrac19r) =3,raiz(x-2)^2 + l(tfrac13r)^2
Assim,
integral 1raiz9(x-2)^2+1;dx = integral 13,raiz(x-2)^2+(1/3)^2;dx = 13integral dxraiz(x-2)^2+(1/3)^2
Fazemos a mudança de variável
u = x-2, du = dx,
ficando
13integral duraizu^2 + (1/3)^2

Passo 4

Agora usamos a fórmula padrão
integral duraizu^2+a^2 = arcsinh!l(uar) + C,
com a = tfrac13. Logo,
13integral duraizu^2+(1/3)^2 = 13,arcsinh!l(3ur) + C = 13,arcsinh!l(3(x-2)r) + C

Resposta

integral 1raiz9x^2-36x+37;dx = 13,arcsinh!l(3(x-2)r) + C

Exercícios relacionados