Calcule as seguintes integrais:
integral 1x^4 raiz9-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x^4raiz9-x^2,dx
Como aparece raiz9-x^2, uma boa escolha é a substituição trigonométrica
x = 3sintheta,
que transforma raiz9-x^2 num cosseno.

Passo 2

Com x=3sintheta vem
,dx=3costheta,dtheta e raiz9-x^2=3costheta. Substituindo na integral original:
integral 1x^4raiz9-x^2,dx =integral 1(3sintheta)^4,(3costheta),(3costheta,dtheta) =181integral csc^4theta,dtheta

Passo 3

Para integrar integral csc^4theta,dtheta, usamos a identidade
csc^4theta=csc^2thetal(1+cot^2thetar)
e a substituição
u=cottheta, du=-csc^2theta,dtheta.
Assim
integral csc^4theta,dtheta =integral csc^2theta,dtheta +integral csc^2theta,cot^2theta,dtheta =-cottheta-cot^3theta3+C
Multiplicando por 1/81 resulta
181l(-cottheta-tfraccot^3theta3r)+C

Passo 4

Voltando a x, note que
cottheta=costhetasintheta =raiz9-x^2/3x/3 =raiz9-x^2x
Logo a primitiva fica
-181,raiz9-x^2x -1243,l(raiz9-x^2r)^3x^3 + C

Resposta

-raiz9-x^281,x -(9-x^2)^3/2243,x^3+C

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