Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral sin (x)^7cos (x)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral sin^7(x)cos^4(x),dx
Esse tipo de integral, em que a potência de sin(x) é ímpar, sugere usar a identidade sin^2(x)=1-cos^2(x) para separar um fator sin(x) e em seguida fazer a substituição u=cos(x).

Passo 2

Separe um fator sin(x) e escreva o restante em termos de cos(x):
sin^7(x)=sin^6(x),sin(x)=l(1-cos^2(x)r)^3,sin(x)
Logo,
sin^7(x)cos^4(x)=l(1-cos^2(x)r)^3,sin(x)cos^4(x),

Passo 3

Fazendo a substituição
u=cos(x), du=-sin(x),dx Longrightarrow sin(x),dx=-du,
a integral fica
integral sin^7(x)cos^4(x),dx =-integral (1 - u^2)^3,u^-4,du

Passo 4

Expanda (1-u^2)^3 e multiplique por u^-4:
(1-u^2)^3 = 1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6,
(1-u^2)^3,u^-4 = u^-4 - 3u^-2 + 3 - u^2
Assim a integral é
-integrall(u^-4-3u^-2+3 - u^2r),du

Passo 5

Integre termo a termo:
-integral u^-4,du = -u^-3-3 =13u^-3,
-integral(-3u^-2),du =3integral u^-2,du =3cdotu^-1-1 =-3u^-1,
-integral 3,du=-3u, -integral(-u^2),du =integral u^2,du =u^33
Somando tudo, obtemos
13u^-3-3u^-1-3u+u^33+C

Passo 6

Volte a x usando u=cos(x), u^-1=sec(x), u^-3=sec^3(x):
13sec^3(x) -3sec(x) -3cos(x) +cos^3(x)3 +C

Resposta

13sec^3(x)-3sec(x)-3cos(x)+13cos^3(x)+C

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