que é um caso clássico de integral envolvendo raiz de polinômio quadrático. Para resolver, vamos completar o quadrado no radicando e em seguida decompor o numerador para aplicar substituições adequadas.
Passo 2
Primeiro, completamos o quadrado em
Passo 3
Reescrevemos a integral usando essa forma e decompomos :
Fazemos a substituição
ficando
Passo 4
Para , definimos
Logo
Passo 5
Para , fatoramos a constante sob a raiz:
Usamos a primitiva padrão .
Aqui a=3/raiz2, então
integral duraiz2u^2-9 =1raiz2 ln!l|u+raizu^2-tfrac92r|
Passo 6
Voltando a x com u=x-1 e somando as duas partes, obtemos
12raiz2(x-1)^2-9 ;+; 1raiz2 ln!l|,x-1+raiz(x-1)^2-tfrac92r| + C
Como raiz2(x-1)^2-9=raiz2x^2-4x-7 e raiz(x-1)^2-tfrac92=tfrac1raiz2raiz2x^2-4x-7, podemos reescrever de forma mais enxuta:
12raiz2x^2-4x-7 ;+; 1raiz2 ln!l|raiz2,(x-1)+raiz2x^2-4x-7r| + C
Resposta
integral xraiz2x^2-4x-7,dx =12raiz2x^2-4x-7 +1raiz2 ln!l|raiz2,(x-1)+raiz2x^2-4x-7r| + C