Calcule as seguintes integrais:
integral xraiz2 x^2-4 x-7 d x

Passo 1

O enunciado pede
integral xraiz2x^2-4x-7,dx
que é um caso clássico de integral envolvendo raiz de polinômio quadrático. Para resolver, vamos completar o quadrado no radicando e em seguida decompor o numerador para aplicar substituições adequadas.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em
2x^2-4x-7 = 2l(x^2-2xr)-7 =2l((x-1)^2-1r)-7 =2(x-1)^2-9

Passo 3

Reescrevemos a integral usando essa forma e decompomos x=(x-1)+1:
integral xraiz2(x-1)^2-9,dx =integral x-1raiz2(x-1)^2-9,dx +integral 1raiz2(x-1)^2-9,dx
Fazemos a substituição
u = x-1, dx = du,
ficando
integral uraiz2u^2-9,du ;+; integral 1raiz2u^2-9,du

Passo 4

Para
integral uraiz2u^2-9,du, definimos
w = 2u^2-9 Longrightarrow dw = 4u,du Longrightarrow u,du = dw4
Logo
integral uraiz2u^2-9,du =integral 1raizwdw4 =14integral w^-tfrac12dw =12raizw =12raiz2u^2-9

Passo 5

Para
integral duraiz2u^2-9, fatoramos a constante sob a raiz:
integral duraiz2u^2-9 =1raiz2 integral duraizu^2-(3/raiz2)^2
Usamos a primitiva padrão
integral duraizu^2-a^2 =lnl|u+raizu^2-a^2r|+C.
Aqui a=3/raiz2, então
integral duraiz2u^2-9 =1raiz2 ln!l|u+raizu^2-tfrac92r|

Passo 6

Voltando a x com u=x-1 e somando as duas partes, obtemos
12raiz2(x-1)^2-9 ;+; 1raiz2 ln!l|,x-1+raiz(x-1)^2-tfrac92r| + C
Como raiz2(x-1)^2-9=raiz2x^2-4x-7 e
raiz(x-1)^2-tfrac92=tfrac1raiz2raiz2x^2-4x-7, podemos reescrever de forma mais enxuta:
12raiz2x^2-4x-7 ;+; 1raiz2 ln!l|raiz2,(x-1)+raiz2x^2-4x-7r| + C

Resposta

integral xraiz2x^2-4x-7,dx =12raiz2x^2-4x-7 +1raiz2 ln!l|raiz2,(x-1)+raiz2x^2-4x-7r| + C

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